从体检报告聊贝叶斯
前几天，写了一篇贝叶斯的文章，发现很多人阅读，后台很多留言也提出了自己的质疑和看法。本篇换个角度再来聊聊贝叶斯，每次聊，我自己也迭代一次。所以，欢迎分享、参与讨论，这对于我很重要。
体检报告阳性了？
现代公司，为了时刻清楚牛马能不能继续工作，所以会定期安排体检，美其名曰“福利”。
如果你拿到体检报告，上面显示你得了一种重疾（例如北京的肺癌，乳腺癌等近些年来较为常见的重疾）。你紧张兮兮地问医生：啊，为什么是我？
医生不慌不忙地说：别急，我告诉你一个好消息一个坏消息，你先听哪个？
你也不管了，被诊断为重疾还不算坏消息，还有坏消息？那先来个坏消息吧。
医生说：咱们这台仪器啊，诊断的灵敏度是80%。也就是说，10 个真正得病的，能找出来其中 8 个人。
你心想：果然是坏消息，这个灵敏度可以，10 个能找出来 8 个，而我被它选中了。
医生继续说：好消息是，人们得这种疾病的概率并不高，只有 1%。大马路上随便拉过来 1000 个人，最后真有病的只有 10 个人。而这台机器也可能犯错，从那 990 个正常人中挑中 99 个人，说他们得病了，所以还有误诊 10% 的概率。我们称之为假阳性。
本来头脑发懵，医生又这一通数字输出，完全不知道如何应对。
医生问：贝叶斯公式学过伐？算一下你真正得病的概率就知道了。也就是算 P(病｜阳)，报告结果是阳性（报告说你有病）的条件下，你真的有病的概率。
上贝叶斯公式：P(病|阳)=P(阳|病)P(病)/P(阳)
从上篇文章的留言来看，大家主要糊涂的是右边的分母，所谓全概率公式这里。在这里，就要考虑各种情形下，诊断结果为“阳”的总概率。一共有两种情况：
- 本来就病了，诊断也为阳。表示为概率就是 P(病)P(阳|病)，医生说，社会上得这个病的概率是 1%，所以 P(病)就是 1%，而这家医院，如果你本来有病，它能诊断出来的概率是P(阳|病)，就是医生说的“灵敏度可以，10 个能找出来 8 个”，80%。两者相乘就是 0.8%
- 本来没病，误诊为阳。表示为概率就是 P(没病)P(阳|没病)，医生说，社会上得病的概率是 1%，那么没病的概率就是 99%，没病还被测出阳性来，医生说有把正常人误诊为阳性的概率是 10%，也就是P(阳|没病)为 10%，两者相乘就是 9.9%。
所以，这家医院体检报告说你得了重疾（报告阳性）的总概率就是 0.8%+9.9%=10.7%。
贝叶斯公式分子，就是计算全概率的第一种情况：本来就病了，诊断也为阳。为 0.8%。因此，你拿到这份体检报告，真得病的概率就是 0.8/10.7=7.5%。
稳住，不要慌，这个概率并不高！
再测一次的话
医生建议你复查，也就是再测一次。再测一次，这家医院也不能一夜之间突飞猛进，所以它的下面这个指标不会变：
- 灵敏度 80%，也就是有病的前提下，它给出有病的结论，概率是P(阳|病)=80%
- 误诊率（假阳性）10%，也就是没病的前提下，他给出有病的结论，概率是P(阳|没病)。
但是这时候，你去复查，你有病的概率P(病)就不再等同于社会上所有人的概率，你是已经被诊断为一次有病的人了，所以你的P(病)=7.5%。看到没有，这就是贝叶斯公式的奥义所在，之前本来是一个后验概率，面对新的证据时，就是先验概率了，所谓“先验”和“后验”，就是“先于经验”跟“后于经验”，经验就是证据，就是现象。
如果复查的时候，还是给出了阳性的诊断结论。那么这时候，在按照前面的方式算一下概率，和前面唯一不同就是P(病)=7.5%，而不是 1%。计算可以得到P(病|复查为阳)=39%，得病的概率从 7.5% 直接上升了 5 倍！
如果复查的时候，给出了阴性的诊断结论，那么这时候，得病的概率就是：
P(病|阴)=P(阴|病)P(病)/P(阴)
P(阴|病)就是 20%，灵敏度的反面，1-80%。
P(阴)=P(阴|病)P(病)+P(阴|未病)P(未病)=20% x 7.5% + 90% x 92.5%
计算下来，如果复查为阴性，得病的概率就是 1.8%，从 7.5% 下降为 1.8%！
感觉好像哪里不对
总感觉有点不对劲，连续两次被诊断为大病，最后一顿操作算下来，得病概率才 39%，还不到 50%？
哪里不对呢？现实中有两种情况，影响的是都是得病的先验概率 P(病)。
第一种情况，假如说拿到体检报告时的你，健步如飞，从来没觉得自己有什么不舒服，身上也没有任何异样，胃口好，牙口好，睡眠好，上楼也不喘。你只是无意中去体检了，得到这么一份报告，那么这个先验概率 1% 对于你来说是可信的。尽管如此，复查之后概率上升了到5 倍，这件事也足以引起重视，换一个医院再查一次、找更专业的医生检查之后再确定，则比较保险。
第二种情况，就是你主动去做体检。你已经感觉到自己身体抱恙，或者身上有肿块，总之就是不正常了，那么你第一次去体检时，先验概率 P(病)肯定不是 1%，例如是 10% 的话，那么第一次诊断出阳性，得病的概率就是 47%，复查之后还是阳性，得病的概率就是 88%，几乎已经确定了。
所有的这些不对劲，都是和自己的先验概率相冲突。我们从贝叶斯公式中学会的是：
- 一定要尊重事实，这是迭代概率的核心原因。前面提到身体抱恙采取体检，那么其实已经完成一次先验概率的更新了，因为身体抱恙就是事实。
- 概率到底是什么？如果你有大量的事实和试验，那么概率可以是从这些事实中统计得到的频率，因为数据量大，频率就接近概率。如果没有那么多数据供我们统计频率，那么贝叶斯的思想认为概率就是一种“信念”，相信某件事发生的可能性是多大，乍一听，非常主观。但由于贝叶斯思想尊重事实，不断调整自己的信念，所以这个信念最终会变得靠谱。
前面的第二点非常重要，在我们的实践活动中，完全不具备大量数据供我们决策，这时候只能凭借经验和主观，先干起来再说，干起来了，获得了一点结果，就可以调整信念，先验变后验，后验变先验，是为迭代。
